Juro

Juro é a remuneração cobrada pelo empréstimo de dinheiro. É expresso como um percentual sobre o valor emprestado (taxa de juro) e pode ser calculado de duas formas: juros simples ou juros compostos.

O juro pode ser compreendido como uma espécie de "aluguel sobre o dinheiro". A taxa seria uma compensação paga pelo tomador do empréstimo para ter o direito de usar o dinheiro até o dia do pagamento. O credor, por outro lado, recebe uma compensação por não poder usar esse dinheiro até o dia do pagamento e por correr o risco de não receber o dinheiro de volta (risco de inadimplência).

História

Documentos históricos redigidos pela civilização suméria, por volta de 3000 a.C., revelam que o mundo antigo desenvolveu um sistema formalizado de crédito baseado em dois principais produtos, o grão e a prata. Antes de existirem as moedas, o empréstimo de metal era feito baseado em seu peso. Arqueólogos descobriram pedaços de metais que foram usados no comércio nas civilizações de Troia, Babilônia, Egito e Pérsia. Antes do empréstimo em dinheiro ser desenvolvido, o empréstimo de cereal e de prata facilitava a dinâmica do comércio.

Na República Romana, no ano do consulado de Marco Fábio Ambusto (pela terceira vez) e ou Tito Quíncio ou Marco Popílio,^{[1][Nota 1]} a taxa de juros foi reduzida para 8 1/3 por cento, mesmo assim, os plebeus continuavam sem conseguir pagar suas dívidas.^[2]

Taxa básica de juros

A taxa básica de juros corresponde à menor taxa de juros vigente em uma economia, funcionando como taxa de referência para todos os contratos. É também a taxa a que um banco empresta a outros bancos.

No Brasil, a taxa de juros básica é a taxa Selic,^[3] que é definida pelo Comitê de Política Monetária (COPOM) ^{[Nota 2]}do Banco Central, e corresponde à taxa de juros vigente no mercado interbancário, ou seja, é a taxa aplicada aos empréstimos entre bancos para operações de um dia (overnight) - operações estas lastreadas por títulos públicos federais. A taxa básica de juros, estabelecida pelo governo, através do Banco Central, para remunerar os títulos da dívida pública, é um importante instrumento de política monetária e fiscal. Em 20 de julho de 2011 a taxa básica de juros se elevou pela quinta vez seguida alcançando a marca de 12,5 pontos percentuais. O maior desde janeiro de 2009. Ao elevar a taxa Selic, o objetivo do BC é frear o consumo da população (dado que o consumidor terá que pagar juros mais altos, em compras pelo crediário) a fim de conter a inflação.^[4]

De forma análoga, nos Estados Unidos, a taxa básica de juros é fixada pelo Federal Open Market Committee (Comitê Federal de Mercado Aberto) do Fed (o sistema de bancos centrais dos EUA), com base na remuneração dos Federal Funds, que são os títulos que lastreiam empréstimos interbancários overnight e que têm como finalidade a manutenção do nível das reservas bancárias depositadas no banco central.

Taxa preferencial de juros[

A taxa preferencial de juros (em inglês, prime rate) é a taxa de juros bancária cobrada dos clientes preferenciais, isto é, aqueles que têm as melhores avaliações de crédito. É determinada pelas condições de mercado (custos bancários, expectativas inflacionárias, remuneração de outros ativos, etc.). Em geral, a taxa preferencial de juros adotada por grandes bancos tende a ser a referência para todo o setor bancário e normalmente será a menor taxa do mercado.^[5]

Geralmente a taxa preferencial supera em alguns pontos a taxa básica. Mas, na Inglaterra e na Eurozona, a taxa preferencial de juros corresponde exatamente à taxa vigente no mercado interbancário, e funciona como taxa básica de juros. É o caso da Libor e da Euribor. A Libor (London Interbank Offered Rate) é a taxa preferencial de juros que remunera grandes empréstimos entre os bancos internacionais operantes no mercado londrino e é também utilizada como base da remuneração de empréstimos em dólares a empresas e instituições governamentais. Euribor (Euro Interbank Offered Rate) é a taxa de juros usada nas operações interbancárias, feitas em euro, entre os países da Eurozona.^[6]

Juros simples[editar | editar código-fonte]

No regime dos juros simples, a taxa de juros é aplicada sobre o valor inicial de forma linear em todos os períodos, ou seja, não considera que o valor sobre o qual incidem juros aumenta (ou diminui) ao longo do tempo.

A fórmula de juros simples pode ser escrita da seguinte maneira:

${\displaystyle V_{f}=V_{p}(1+j\cdot n)}$

, onde

• ${\displaystyle V_{f}:}$ Valor Futuro
• ${\displaystyle V_{p}:}$ Valor Presente
• ${\displaystyle j:}$ Taxa de juros
• ${\displaystyle n:}$ Número de períodos

Exemplo

Uma pessoa toma emprestado $100 (${\displaystyle V_{p}=100}$) para pagar em 2 meses (${\displaystyle n=2}$) com taxa de juros de 10% ao mês (${\displaystyle j=0,1}$), calculados conforme o regime de juros simples. Depois de 2 meses essa pessoa irá pagar $120, conforme a fórmula:

  ${\displaystyle {\begin{aligned}V_{f}&=100\cdot \left(1+0,1\cdot 2\right)\\&=100\cdot \left(1+0,2\right)\\&=100\cdot 1,2\\&=120\end{aligned}}}$

Obtendo-se o Valor dos Juros diretamente

Uma pessoa toma emprestado $100 (${\displaystyle V_{p}}$) para pagar em 2 meses (${\displaystyle n}$) com taxa de juros de 10% ao mês (${\displaystyle j}$). Depois de 2 meses essa pessoa irá pagar $20 de juros, conforme a fórmula:

${\displaystyle J=V_{p}\cdot j\cdot n}$

, onde

• ${\displaystyle J:}$ Valor dos Juros

  ${\displaystyle {\begin{aligned}J&=100\cdot 0,1\cdot 2\\&=20\end{aligned}}}$

Juros compostos[

No regime de juros compostos, os juros de cada período são somados ao capital para o cálculo de novos juros nos períodos seguintes. Nesse caso, o valor da dívida é sempre corrigida e a taxa de juros é calculada sobre esse novo valor. A fórmula de juros compostos pode ser escrita da seguinte maneira:

${\displaystyle V_{f}=V_{p}(1+j)^{n}\,}$

, onde

• ${\displaystyle V_{f}:}$ Valor Futuro
• ${\displaystyle V_{p}:}$ Valor Presente
• ${\displaystyle j:}$ Taxa de juros
• ${\displaystyle n:}$ Número de períodos

Exemplo

Uma pessoa toma emprestado $ 100 (${\displaystyle V_{p}=100}$) com taxa de juros de 10% ao mês (${\displaystyle j=0,1}$), calculados conforme o regime de juros compostos. Depois de 2 meses (${\displaystyle n=2}$) essa pessoa irá pagar $121, conforme a fórmula:

  ${\displaystyle {\begin{aligned}V_{f}&=100\cdot \left(1+0,1\right)^{2}\\&=100\cdot \left(1,1\right)^{2}\\&=100\cdot 1,1\cdot 1,1\\&=110\cdot 1,1\\&=121\end{aligned}}}$

Para o caso mais geral, quando o juro é capitalizado mais de que uma vez por ano, a fórmula é

${\displaystyle V_{f}=V_{p}\left(1+{\frac {j}{n}}\right)^{nt}}$

onde,

• ${\displaystyle V_{f}:}$ Futuro Valor
• ${\displaystyle V_{p}:}$ Valor Presente
• ${\displaystyle j:}$ taxa de juro anual nominal
• ${\displaystyle n:}$ número de vezes que o juro é capitalizado por ano
• ${\displaystyle t:}$ número de anos

Cálculo do montante de juros a partir do capital

A partir da expressão abaixo, dado o capital, a taxa e o tempo de capitalização, se obtém diretamente o montante dos juros.

${\displaystyle J=V_{p}[(1+j)^{n}-1]}$

Rendas certas[

Rendas Certas, Aplicações Constantes ou Anuidades são termos que se referem a aplicações sucessivas de capital (${\displaystyle A}$), remunerado a uma taxa de juros (${\displaystyle j}$), durante um período de tempo (${\displaystyle n}$), onde valor e taxa são constantes em cada período, segundo a fórmula.

${\displaystyle R=A\times {\frac {(1+j)^{n}-1}{j}}}$

Essa fórmula se baseia no cálculo da parcela na Tabela Price.

Exemplo ilustrativo:

Uma pessoa inicia uma poupança aplicando mensalmente $100, com rendimento de 1% ao mês. Ao fazer o 12º depósito qual será o seu saldo?

  ${\displaystyle {\begin{aligned}R&=100\times {\frac {(1+0,01)^{12}-1}{0,01}}\\&=100\times {\frac {1,1268-1}{0,01}}\\&=100\times {\frac {0,1268}{0,01}}\\&=100\times 12,68\\&\approx 1.268,00\end{aligned}}}$

É importante ter em mente que no caso acima o último depósito não é capitalizado, ou seja, o último valor se acumula ao montante mas não tem ainda juro de remuneração.

Propriedades multiplicativas em rendas certas

O produto da aplicação períodica (${\displaystyle A}$) em relação a soma dos Fatores ${\displaystyle \sum F^{t}}$ resulta no montante da renda (${\displaystyle R}$), conforme a fórmula e demonstração abaixo:

${\displaystyle A\cdot \sum {F^{t}}=V_{p}}$

Exemplo:

Um plano de previdência com depósitos de $100,00 constantes, durante 4 períodos de capitalização, a uma taxa de 1%am (ao mês) acumula o montante aproximado de?

Na tabela abaixo temos o somatório dos fatores de 1% de juros, então, basta aplicar a expressão acima:

Período(${\displaystyle _{t}}$)	${\displaystyle (1+j)^{t}}$	Fator ${\displaystyle F}$
${\displaystyle _{t}=1}$	${\displaystyle (1+0,01)^{1}}$	${\displaystyle 1,01}$
${\displaystyle _{t}=2}$	${\displaystyle (1+0,01)^{2}}$	${\displaystyle 1,0201}$
${\displaystyle _{t}=3}$	${\displaystyle (1+0,01)^{3}}$	${\displaystyle 1,030301}$
${\displaystyle _{t}=4}$	${\displaystyle (1+0,01)^{4}}$	${\displaystyle 1,04060401}$
${\displaystyle \sum F^{t}}$		${\displaystyle 4,10100501}$

${\displaystyle R=100,00\cdot 4,101\approx \$406,04{\text{ Montante/renda acumulada}}}$

Nesse exemplo é importante ressaltar que houve 4 contribuições de $100, e que somente ao término do quarto mês houve a última capitalização.

Taxa de juros continuamente comp]

O regime de juros compostos também pode ser expresso através da taxa de juros continuamente composta. Apesar de ter o mesmo funcionamento do regime de juros compostos, a taxa de juros continuamente composta apresenta uma fórmula de cálculo diferente. A fórmula da taxa de juros continuamente composta pode ser escrita da seguinte maneira:

${\displaystyle V_{f}=V_{p}\cdot e^{r\cdot n}\,}$

, onde

• ${\displaystyle V_{f}:}$ Valor Futuro
• ${\displaystyle V_{p}:}$ Valor Presente
• ${\displaystyle r:}$ Taxa de juros continuamente composta
• ${\displaystyle n:}$ Número de períodos
• ${\displaystyle e:}$ Número de Euler, que é equivalente a 2,718281828459...

O valor da taxa de juros ${\displaystyle r}$, que é continuamente composta, possui significado diferente do valor da taxa de juros ${\displaystyle j}$, usada na primeira fórmula. Porém, como ambas são usadas no regime de juros compostos, existe uma fórmula para fazer a "tradução" de uma taxa para outra:

${\displaystyle j=e^{r}-1\,}$

ou, invertendo os termos,

${\displaystyle r=ln(j+1)\,}$

Diferente da taxa de juros composta, a taxa de juros continuamente composta pode ser somada. Por exemplo, se a taxa de juros continuamente composta de janeiro é 3% e a de fevereiro é 4%, a taxa desse bimestre é 7% (esse cálculo não pode ser feito com taxas que não são continuamente compostas). Devido a essa propriedade, elas podem ser usadas para facilitar a interpretação e o tratamento de bases de dados. Além disso, alguns modelos estatísticos usam esse conceito de taxa de juros nas suas premissas.

Apesar dessas vantagens, o uso da taxa continuamente composta está concentrado na área acadêmica e no mercado de capitais. Devido à dificuldade de interpretação e cálculo, essa taxa não é usada para divulgar empréstimos bancários ou alternativas de investimento para o público geral.

Exemplo numérico

Uma pessoa toma emprestado $100 (${\displaystyle V_{p}=100}$) com taxa de juros continuamente composta de 10% ao mês (${\displaystyle r=0,1}$). Depois de 2 meses (${\displaystyle n=2}$) essa pessoa irá pagar $122,14, conforme a fórmula:

  ${\displaystyle {\begin{aligned}V_{f}&=100\cdot e^{0,1\cdot 2}\\&=100\cdot e^{0,2}\\&=100\cdot 2,718281828459\cdots ^{0,2}\\&=100\cdot 1,2214\\&=122,14\end{aligned}}}$

Juros simples vs. compostos[editar | editar código-fonte]

Comportamento de juros compostos, num empréstimo de 100$ com taxa de juro anual de 5%. Ao final de 40 anos, o devedor deve cerca de sete vezes mais em comparação com o capital pedido inicialmente

A tabela abaixo mostra os valores de um empréstimo de 100 (Euros ou Reais) com taxa de juros de 10% ao período sob o regime de juros simples e juros compostos. Note que essa tabela apresenta três momentos diferentes:

• Para períodos inferiores a 1 (${\displaystyle n<1}$), o regime de juros simples apresenta valores superiores ao regime de juros compostos.
• No período 1, o valor é igual para ambos regimes.
• Para mais de um período, o regime de juros compostos apresenta valores superiores ao regime de juros simples.

${\displaystyle n}$	Juros Simples	Juros Compostos
0,00	100,00	100,00
0,25	102,50	102,41
0,50	105,00	104,88
0,75	107,50	107,41
1,00	110,00	110,00
1,25	112,50	112,65
1,50	115,00	115,37
1,75	117,50	118,15
2,00	120,00	121,00
2,25	122,50	123,92

Enquanto que o juro simples obedece a uma progressão aritmética, que para o caso da tabela acima o capital devido é dado por:

${\displaystyle V_{f}=100\times \left(1+{\frac {j}{100}}\times n\right)}$

já o juro composto obedece a uma progressão geométrica, que para a tabela acima, o capital devido é:

${\displaystyle V_{f}=100\times \left(1+{\frac {j}{100}}\right)^{n}}$

Taxa nominal vs. taxa real[editar | editar código-fonte]

A taxa de juros nominal é remuneração do empréstimo como foi explicado até este ponto. A taxa de juro real leva em consideração a variação verificada no índice de preços, reflectindo a alteração no poder de compra do dinheiro. O seu cálculo advém da equação de Fisher:

${\displaystyle 1+i_{r}={\frac {1+i_{n}}{1+\pi }}}$

• ${\displaystyle i_{r}:}$ Taxa de juros real
• ${\displaystyle i_{n}:}$ Taxa de juros nominal
• ${\displaystyle \pi :}$ Taxa de inflação

Exemplo numérico

Durante um ano, uma pessoa contrai um empréstimo com uma taxa de juro nominal de 10% (${\displaystyle i_{n}=0,1}$), e durante o mesmo período o índice de preços cresce 5% - ou seja, a inflação é de 5% (${\displaystyle \pi =0,05}$). A taxa de juros real nesse caso é de 4,76%, conforme a fórmula:

  ${\displaystyle {\begin{aligned}1+i_{r}&={\frac {1+0,1}{1+0,05}}\\1+i_{r}&={\frac {1,1}{1,05}}\\i_{r}&=1,0476-1\\i_{r}&=0,0476\\i_{r}&=4,76\%\\\end{aligned}}}$

Tabela Financeira[

A tabela financeira apresenta os fatores de juros de taxas, segundo o regime de juros compostos, dado pela fórmula básica.

${\displaystyle F=(1+i)^{n}}$

• Onde:

${\displaystyle i}$ deve ser expresso em forma fracional (${\displaystyle {\frac {i}{100}}}$). Exemplo: 1% = 0,01;

${\displaystyle n}$ tempo de capitalização do capital.

A tabela financeira é muito utilizada para se preestabelecer, por exemplo, como serão considerados os valores decimais de cada taxa, isto é, quantas casas decimais serão acordadas para os cálculos financeiros.

Tabela financeira

	Períodos
%	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
0,25	1,0050	1,0075	1,0100	1,0126	1,0151	1,0176	1,0202	1,0227	1,0253	1,0278	1,0304
0,50	1,0100	1,0151	1,0202	1,0253	1,0304	1,0355	1,0407	1,0459	1,0511	1,0564	1,0617
0,75	1,0151	1,0227	1,0303	1,0381	1,0459	1,0537	1,0616	1,0696	1,0776	1,0857	1,0938
1,00	1,0201	1,0303	1,0406	1,0510	1,0615	1,0721	1,0829	1,0937	1,1046	1,1157	1,1268
1,25	1,0252	1,0380	1,0509	1,0641	1,0774	1,0909	1,1045	1,1183	1,1323	1,1464	1,1608
1,50	1,0302	1,0457	1,0614	1,0773	1,0934	1,1098	1,1265	1,1434	1,1605	1,1779	1,1956
1,75	1,0353	1,0534	1,0719	1,0906	1,1097	1,1291	1,1489	1,1690	1,1894	1,2103	1,2314
2,00	1,0404	1,0612	1,0824	1,1041	1,1262	1,1487	1,1717	1,1951	1,2190	1,2434	1,2682
2,25	1,0455	1,0690	1,0931	1,1177	1,1428	1,1685	1,1948	1,2217	1,2492	1,2773	1,3060
2,50	1,0506	1,0769	1,1038	1,1314	1,1597	1,1887	1,2184	1,2489	1,2801	1,3121	1,3449
2,75	1,0558	1,0848	1,1146	1,1453	1,1768	1,2091	1,2424	1,2765	1,3117	1,3477	1,3848
3,00	1,0609	1,0927	1,1255	1,1593	1,1941	1,2299	1,2668	1,3048	1,3439	1,3842	1,4258
3,25	1,0661	1,1007	1,1365	1,1734	1,2115	1,2509	1,2916	1,3336	1,3769	1,4216	1,4678
3,50	1,0712	1,1087	1,1475	1,1877	1,2293	1,2723	1,3168	1,3629	1,4106	1,4600	1,5111
3,75	1,0764	1,1168	1,1587	1,2021	1,2472	1,2939	1,3425	1,3928	1,4450	1,4992	1,5555
4,00	1,0816	1,1249	1,1699	1,2167	1,2653	1,3159	1,3686	1,4233	1,4802	1,5395	1,6010
4,25	1,0868	1,1330	1,1811	1,2313	1,2837	1,3382	1,3951	1,4544	1,5162	1,5807	1,6478
4,50	1,0920	1,1412	1,1925	1,2462	1,3023	1,3609	1,4221	1,4861	1,5530	1,6229	1,6959
4,75	1,0973	1,1494	1,2040	1,2612	1,3211	1,3838	1,4495	1,5184	1,5905	1,6661	1,7452
5,00	1,1025	1,1576	1,2155	1,2763	1,3401	1,4071	1,4775	1,5513	1,6289	1,7103	1,7959
5,25	1,1078	1,1659	1,2271	1,2915	1,3594	1,4307	1,5058	1,5849	1,6681	1,7557	1,8478
5,50	1,1130	1,1742	1,2388	1,3070	1,3788	1,4547	1,5347	1,6191	1,7081	1,8021	1,9012
5,75	1,1183	1,1826	1,2506	1,3225	1,3986	1,4790	1,5640	1,6540	1,7491	1,8496	1,9560
6,00	1,1236	1,1910	1,2625	1,3382	1,4185	1,5036	1,5938	1,6895	1,7908	1,8983	2,0122
6,25	1,1289	1,1995	1,2744	1,3541	1,4387	1,5286	1,6242	1,7257	1,8335	1,9481	2,0699
6,50	1,1342	1,2079	1,2865	1,3701	1,4591	1,5540	1,6550	1,7626	1,8771	1,9992	2,1291
6,75	1,1396	1,2165	1,2986	1,3862	1,4798	1,5797	1,6863	1,8002	1,9217	2,0514	2,1899
7,00	1,1449	1,2250	1,3108	1,4026	1,5007	1,6058	1,7182	1,8385	1,9672	2,1049	2,2522
7,25	1,1503	1,2336	1,3231	1,4190	1,5219	1,6322	1,7506	1,8775	2,0136	2,1596	2,3162
7,50	1,1556	1,2423	1,3355	1,4356	1,5433	1,6590	1,7835	1,9172	2,0610	2,2156	2,3818
7,75	1,1610	1,2510	1,3479	1,4524	1,5650	1,6862	1,8169	1,9577	2,1095	2,2730	2,4491
8,00	1,1664	1,2597	1,3605	1,4693	1,5869	1,7138	1,8509	1,9990	2,1589	2,3316	2,5182
8,25	1,1718	1,2685	1,3731	1,4864	1,6090	1,7418	1,8855	2,0410	2,2094	2,3917	2,5890
8,50	1,1772	1,2773	1,3859	1,5037	1,6315	1,7701	1,9206	2,0839	2,2610	2,4532	2,6617
8,75	1,1827	1,2861	1,3987	1,5211	1,6542	1,7989	1,9563	2,1275	2,3136	2,5161	2,7362
9,00	1,1881	1,2950	1,4116	1,5386	1,6771	1,8280	1,9926	2,1719	2,3674	2,5804	2,8127
9,25	1,1936	1,3040	1,4246	1,5563	1,7003	1,8576	2,0294	2,2171	2,4222	2,6463	2,8911
9,50	1,1990	1,3129	1,4377	1,5742	1,7238	1,8876	2,0669	2,2632	2,4782	2,7137	2,9715
9,75	1,2045	1,3219	1,4508	1,5923	1,7475	1,9179	2,1049	2,3102	2,5354	2,7826	3,0539
10,00	1,2100	1,3310	1,4641	1,6105	1,7716	1,9487	2,1436	2,3579	2,5937	2,8531	3,1384
10,25	1,2155	1,3401	1,4775	1,6289	1,7959	1,9799	2,1829	2,4066	2,6533	2,9253	3,2251
10,50	1,2210	1,3492	1,4909	1,6474	1,8204	2,0116	2,2228	2,4562	2,7141	2,9991	3,3140
10,75	1,2266	1,3584	1,5044	1,6662	1,8453	2,0436	2,2633	2,5066	2,7761	3,0745	3,4051
11,00	1,2321	1,3676	1,5181	1,6851	1,8704	2,0762	2,3045	2,5580	2,8394	3,1518	3,4985
11,25	1,2377	1,3769	1,5318	1,7041	1,8958	2,1091	2,3464	2,6104	2,9040	3,2307	3,5942
11,50	1,2432	1,3862	1,5456	1,7234	1,9215	2,1425	2,3889	2,6636	2,9699	3,3115	3,6923
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12,00	1,2544	1,4049	1,5735	1,7623	1,9738	2,2107	2,4760	2,7731	3,1058	3,4785	3,8960
12,25	1,2600	1,4144	1,5876	1,7821	2,0004	2,2455	2,5205	2,8293	3,1759	3,5649	4,0016
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31,00	1,7161	2,2481	2,9450	3,8579	5,0539	6,6206	8,6730	11,3617	14,8838	19,4977	25,5420
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33,50	1,7822	2,3793	3,1763	4,2404	5,6609	7,5573	10,0890	13,4689	17,9810	24,0046	32,0461
33,75	1,7889	2,3927	3,2002	4,2802	5,7248	7,6570	10,2412	13,6976	18,3205	24,5037	32,7737
34,00	1,7956	2,4061	3,2242	4,3204	5,7893	7,7577	10,3953	13,9297	18,6659	25,0123	33,5164
34,25	1,8023	2,4196	3,2483	4,3609	5,8544	7,8596	10,5515	14,1654	19,0170	25,5304	34,2745
34,50	1,8090	2,4331	3,2726	4,4016	5,9202	7,9626	10,7097	14,4046	19,3742	26,0582	35,0483
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35,00	1,8225	2,4604	3,3215	4,4840	6,0534	8,1722	11,0324	14,8937	20,1066	27,1439	36,6442
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