Aula 1 – Leis de Newton 15
1.1 Considerações iniciais 15
1.2 Força e resultante de forças 15
1.3 A força peso 17
1.4 O conceito de inércia 17
1.5 Primeira lei de Newton ou princípio da inércia 18
1.6 Segunda lei de Newton ou princípio fundamental da
dinâmica 19
1.7 Terceira lei de Newton ou princípio da ação e reação 20
1.8 Exemplos resolvidos 22
Aula 2 – Atrito, plano inclinado e queda livre 33
2.1 Força de reação normal e força de atrito 33
2.2
Plano inclinado 38
2.3 Queda livre 41
Aula 3 – Equilíbrio de corpos extensos e alavancas 53
3.1 Considerações iniciais 53
3.2 Momento ou torque de uma força 53
3.3 Equilíbrio de rotação 55
3.4 Centro de gravidade 56
3.5 Alavancas 59
3.6 Equilíbrio de alavancas 60
3.7 Tipos de alavancas 62
3.8 Vantagem mecânica de uma máquina simples 64
Aula 4 – Roldanas ou polias 69
4.1 Considerações iniciais 69
4.2 Roldanas fixas 70
4.3 Roldanas móveis 71
4.4 Associação de roldanas fixas com roldanas móveis 71
4.5 Talha exponencial 72
Aula 5 – Hidrostática 77
5.1 Considerações iniciais 77
5.2 Densidade de um corpo 77
5.3 Empuxo 78
5.4 Peso aparente 79
5.5 O empuxo do ar 80
5.6 Pressão 81
5.7 O teorema de Stevin 82
5.8 Pressão atmosférica 83
5.9 O princípio de Pascal 85
5.10 Empuxo e pressão 86
5.11 Exemplos resolvidos 86
1. Leis de Newton
Entender as três leis de Newton que
governam os movimentos dos corpos,
aplicando-as para a solução de
problemas do dia a dia.
Ambiente virtual:
2. Atrito,
plano inclinado
e queda livre
Compreender o papel e a importância
das forças de atrito.
Entender a decomposição da força
peso em uma superfície inclinada.
Compreender a física e as equações
que regem a queda de corpos próximos
à superfície da Terra.
Aplicar os conhecimentos obtidos
na resolução de problemas físicos
cotidianos.
.
Apostila didática.
Recursos de apoio: links,
exercícios.
09
3. Equilíbrio de
corpos extensos
e alavancas
Compreender o equilíbrio de rotação
de corpos longos.
Entender o mecanismo de
funcionamento de alavancas.
Aplicar os conceitos aprendidos para a
resolução de problemas do cotidiano.
4. Roldanas
ou polias
Compreender o funcionamento de
roldanas móveis e fixas.
Aplicar os conceitos aprendidos para a
resolução de problemas do cotidiano.
. 5. Hidrostática
Compreender os conceitos básicos da
hidrostática.
Aplicar os conceitos aprendidos para a
resolução de problemas do cotidiano.
Entender as três leis de Newton que governam os movimentos dos
corpos, aplicando-as para a solução de problemas do dia a dia.
1.1 Considerações iniciais
Nós vivemos em um universo extremamente dinâmico. Frente a isso, os movimentos dos corpos ao nosso redor sempre foram objetos de curiosidade e
estudo ao longo da história.
Muitas teorias sobre tais movimentos foram sugeridas.
No entanto, o primeiro
pesquisador a descrever matematicamente e de forma precisa as teorias já
existentes foi Isaac Newton, um inglês que viveu entre 1642 e 1727. Dessa
forma, o estudioso consolidou as bases da mecânica clássica, formulando o
que, hoje, conhecemos como as 3 leis de Newton.
1.2 Força e resultante de forças
Temos, intuitivamente, a ideia do que é força. No entanto, seu conceito físico
é de extrema importância para a compreensão dos movimentos. Podemos
defini-la da seguinte forma:
Força é o agente físico capaz de causar aceleração em um corpo ou mudar a
direção de seu movimento, ou, ainda, deformá-lo.
A força é uma grandeza vetorial, possuindo módulo, direção e sentido.
Assim,
uma partícula somente sofrerá aceleração ou terá a direção do seu movimento
alterada se, sobre ela, atuar uma força. Como alguns exemplos de força
podemos destacar um carro puxando um reboque através de um engate,
um jogador de futebol chutando uma bola ou uma pessoa empurrando um
carrinho de bebê. Essas forças necessitam de um contato para existirem, sendo
chamadas de forças de contato. Já a força atrativa que existe entre um ímã e
um pedaço de ferro ou a força de atração entre a Terra e a Lua, por exemplo,
são forças que agem a distância e são chamadas de forças de campo.
– Leis de Newton
Aula 1 - Leis de Newton 15 e-Tec Brasil
Quando duas ou mais forças agem sobre um corpo, sempre podemos substituílas por uma única força imaginária que, sozinha, causaria o mesmo efeito
de todas as forças combinadas. Consideremos a Figura 1.1(a), na qual duas
pessoas puxam, em sentidos contrários, um objeto sobre uma mesa horizontal.
A pessoa A puxa o objeto para a direita, aplicando uma força FA (escrevemos
em negrito pois estamos falando do vetor força, e não apenas do seu módulo)
e a pessoa B puxa o objeto para a esquerda, por meio da força FB. Se apenas
uma pessoa puxasse o objeto, ele se movimentaria no sentido da força aplicada
e adquiriria uma aceleração a no mesmo sentido.
No entanto, na situação em
que ambas as pessoas exercem forças, o objeto poderá se mover de diferentes
maneiras. Poderá, inclusive, permanecer parado, dependendo da intensidade
das forças aplicadas. No caso de FA > FB, o objeto se move com aceleração
para a direita. Na situação onde FB > FA, o movimento aconteceria acelerado
para a esquerda. Por fim, se FB = FA, a força resultante e a aceleração seriam
nulas, não ocorrendo movimento
.
Figura 1.1: Representação de duas forças sendo aplicadas a um mesmo corpo (a) e
representação de n forças aplicadas em um mesmo corpo (b)
Fonte: CTISM, adaptado de Doca; Biscuola; Bôas, 2010
A força resultante entre FA e FB equivale a uma força única que, se aplicada
sozinha, imprimiria ao bloco a mesma aceleração que FA e FB produzem juntas.
Na Figura 1.1(b), é mostrado um outro exemplo, no qual um sistema de n
forças atuam sobre uma partícula. A força F resultante desse sistema é dada
pela soma vetorial: F = F1 + F2 + F3 + ... + Fn. É importante ter sempre em
mente que a resultante F não é uma força a mais a agir sobre a partícula, mas
somente uma adição vetorial que representa a ação de todas as forças juntas.
Assista a um vídeo sobre força em:
https://www.youtube.com/watch?
v=ZjQgvlVvWkw&index=6&list=
PL3qONjKuaO2QIYCrrjGChAne4
EQ7hHCC0
e-Tec Brasil
16 Física Aplicada para Edificações
1.3 A força peso
Intuitivamente, todos têm a noção do que é o peso. Os conceitos de leve ou
pesado são completamente compreendidos pelo senso comum. Mas o que,
na verdade, é o peso de um corpo?
O peso P é uma força que aparece devido à atração gravitacional que a Terra
exerce sobre todos os objetos em suas proximidades. Essa força é dirigida para
baixo, em direção ao centro do planeta.
É ela quem faz com que os corpos
abandonados caiam em movimento acelerado até colidirem com o solo.
A aceleração produzida pela força peso P é chamada aceleração da gravidade
ou aceleração gravitacional g. A força peso P e a aceleração da gravidade g
têm a mesma orientação, ambas dirigidas ao centro do planeta. O valor médio
dessa aceleração é 9,81 m/s2
.
No entanto, para a resolução de exercícios,
costuma-se usar o valor aproximado de 10 m/s2
.
Assim, o peso de um corpo é o valor da força de atração gravitacional exercida
pelo planeta sobre ele. Para calcular o seu módulo, usamos a expressão P = m × g,
na qual m é a massa do corpo. Por fim, é importante ressaltar que a massa de
um corpo é uma característica sua e tem o mesmo valor em qualquer parte
do universo.
O mesmo não ocorre com o peso, já que depende do módulo
da aceleração local, g. Na Lua, por exemplo, uma pessoa teria cerca de 1/6
do seu peso na Terra, pois o módulo da aceleração da gravidade, na Lua, é
cerca de 1,67 m/s2
, correspondendo a aproximadamente 1/6 de 9,8 m/s2
.
1.4 O conceito de inércia
Um acontecimento muito conhecido e, talvez, já experimentado por todos
diz respeito à situação em que um ônibus, inicialmente parado, entra em
movimento e um passageiro que viaja em pé no corredor é aparentemente
“jogado” para trás.
Com o ônibus parado, a sua velocidade e a velocidade
do passageiro são nulas em relação à Terra. Quando o motorista “arranca”
com o veículo, uma força de propulsão dos motores age sobre o ônibus,
impulsionando-o para a frente. O que de fato acontece com o passageiro é
que ele é “deixado” para trás pelo ônibus. Dito em outras palavras, seu corpo
manifesta a inércia de repouso e tende a manter seu estado de repouso em
relação à Terra.
No caso em que o ônibus diminui sua velocidade, a situação é invertida.
Quando o motorista pisa no freio, o passageiro é, aparentemente, “jogado
Aula 1 - Leis de Newton 17 e-Tec Brasil
para a frente’’. O que acontece, nesse caso, é que a força dos freios age sobre
o ônibus, retardando seu movimento, mas nenhuma força age sobre o corpo
da pessoa.
Assim, o passageiro tende a manter sua velocidade em relação à
Terra e continua seu movimento, apesar da desaceleração do veículo. Nessa
situação, o corpo da pessoa manifesta a inércia de movimento. Podemos
dizer o seguinte:
A inércia é a tendência que todos os corpos apresentam a manter seus estados
de movimento.
A inércia é uma característica intrínseca da matéria. Assim, tudo que possui
massa possui inércia.
É necessário que uma força aja sobre um corpo para vencer sua inércia; quanto
maior a massa de um corpo, maior sua inércia.
1.5 Primeira lei de Newton ou princípio da
inércia
A primeira lei de Newton (ou princípio da inércia) pode ser enunciada da
seguinte forma:
Se a força resultante sobre um corpo é nula, o corpo permanece em repouso
ou em movimento retilíneo uniforme.
Como exemplo, podemos considerar o caso de uma patinadora se movendo em
linha reta sobre uma superfície de gelo perfeitamente lisa, plana e horizontal,
em um local onde podemos desconsiderar as forças de atrito e de resistência do
ar e a ação dos ventos.
Se nenhuma força resultante agir sobre a patinadora,
seu movimento será retilíneo e com velocidade constante (movimento retilíneo
uniforme, ou MRU). Por outro lado, se ela estiver, inicialmente, em repouso,
somente poderá entrar em movimento se uma força resultante agir sobre ela.
As duas considerações anteriores sobre o movimento da patinadora mostram
que, realmente, as inércias de repouso e de movimento de um corpo somente
podem sem vencidas se houver uma força resultante não nula agindo sobre ele.
18 Física Aplicada para Edificações
1.6 Segunda lei de Newton ou princípio
fundamental da dinâmica
Quando uma partícula é submetida à ação de uma força resultante F não nula,
como efeito, ela adquirirá uma aceleração a. Ou seja, sua velocidade sofrerá
variações com o passar do tempo. Como visto anteriormente, a aceleração
tem a mesma direção e sentido da força resultante.
Consideremos, como exemplo, uma partícula sujeita à ação de uma força
horizontal resultante não nula com sentido para a direita. Se a intensidade
dessa força aumentar, verificamos que a aceleração imposta à partícula também
aumentará, ou seja, as variações em sua velocidade serão cada vez maiores
para um mesmo intervalo de tempo.
A Figura 1.2 exemplifica essa situação.
A partícula é submetida, sucessivamente, à ação das forças resultantes F1,
F2 e F3 com F1 < F2 < F3. Consequentemente, adquire acelerações a1, a2 e a3,
com a1 < a2 < a3.
Figura 1.2: Três forças de intensidades diferentes sendo aplicadas a um mesmo corpo, produzindo diferentes acelerações. A razão entre a força aplicada e a aceleração
adquirida é a massa do corpo
Fonte: CTISM, adaptado do autor
O módulo da aceleração é diretamente proporcional ao módulo da força
resultante. Assim, para um mesmo corpo, podemos escrever:
Das relações acima, pode-se notar que, realmente, a massa é proporcional à
inércia de um corpo.
Quanto maior a massa de uma partícula, maior é a força
necessária para causar-lhe uma mesma aceleração.
Aula 1 - Leis de Newton 1, a segunda lei de Newton pode ser expressa vetorialmente como:
Ou, escalarmente:
A primeira forma da Equação 1.1 é uma equação vetorial e diz que, além
da aceleração ser proporcional à força resultante que atua sobre um corpo,
ela possui sempre a mesma direção e sentido dessa força.
No entanto, para
nossos propósitos, podemos considerar sua forma escalar.
Podemos, agora, enunciar a segunda lei de Newton da seguinte forma:
Se uma força resultante F age sobre uma partícula, como consequência, a
partícula adquire uma aceleração a na mesma direção e no mesmo sentido de
F. O valor da aceleração adquirida é proporcional ao valor da força aplicada.
No Sistema Internacional de Unidades (SI), a unidade de massa [m] é o quilograma (kg). Já a unidade de aceleração [a] é o metro por segundo ao quadrado
(m/s2
). Como F = m × a, podemos deduzir a unidade de força [F]:
1 N é a intensidade da força que, aplicada a uma partícula de massa igual a
1 kg, produz uma aceleração de módulo igual a 1 m/s2
.
1.7 Terceira lei de Newton ou princípio da
ação e reação
Consideremos a situação mostrada na Figura 1.3(a), em que um homem
empurra horizontalmente, para a direita, um bloco pesado. Ao empurrar o
bloco, o homem aplica sobre ele uma força FHB, que é chamada de força de
ação. Porém, o bloco também exerce uma força sobre o homem, como mostra
a Figura 1.3(b). Essa força, representada por FBH, é dirigida para a esquerda, ou
seja, oposta à força aplicada pelo homem, sendo chamada de força de reação.
20 Física Aplicada para Edificações
Figura 1.3: Força de ação FHB aplicada pelo homem sobre o bloco (a), força de reação
FBH que o bloco aplica sobre o homem (b) e representação mostrando que as forças
de ação e reação agem sempre sobre corpos diferentes (c)
Fonte: CTISM, adaptado de Doca; Biscuola; Bôas, 2010
Como a força exercida pelo homem sobre o bloco FHB é oposta à força exercida pelo bloco sobre o homem FBH, podemos representá-las vetorialmente
da seguinte forma: FHB = -FBH. Devemos entender que as forças têm mesma
intensidade e mesma direção, mas sentidos opostos. Supondo que, por exemplo,
a intensidade da força de ação (FHB) seja de 900 N, a intensidade da força de
reação (FBH) também será de 900 N.
Uma característica muito importante sobre as forças de ação e reação é que
elas são sempre aplicadas a corpos diferentes. Na situação anterior, a força
de ação é aplicada sobre o bloco, enquanto a força de reação está aplicada
na pessoa.
A Figura 1.3(c) mostra o sentido da força de ação e da força de
reação, bem como a que corpo cada uma delas é aplicada.
Dessa forma, podemos enunciar a terceira lei de Newton (ou princípio da
ação e reação) da seguinte maneira:
A qualquer força de ação corresponde sempre uma força de reação. Essas
forças têm sempre a mesma intensidade, a mesma direção e sentidos opostos.
As forças de ação e reação estão sempre aplicadas a corpos diferentes.
Como exemplo de uma situação de nossa vida prática relacionada ao princípio
da ação e reação, podemos considerar uma pessoa caminhando. Ao andar,
Aula 1 - Leis de Newton Brasil
a pessoa age sobre o chão, “empurrando-o para trás”. O chão, por sua vez,
reage na pessoa, “empurrando-a para a frente”. Um outro exemplo a ser
considerado é o choque entre dois automóveis. Ambos os carros se deformam
numa situação de colisão, mostrando que um deles age, enquanto o outro
reage em sentido contrário.
Existem várias aplicações da terceira lei de Newton. Uma delas é o funcionamento de foguetes que equipam naves espaciais. Tais foguetes funcionam,
basicamente, exercendo forças sobre os gases provenientes da combustão do
combustível, expelindo-os para trás. Da mesma forma, pelo princípio da ação e
reação, os gases exercem forças sobre o foguete, impulsionando-o para frente
e provocando a aceleração. Esse é o mesmo princípio de funcionamento dos
aviões com propulsão a jato.
1.8 Exemplos resolvidos
Exemplo 1.1
O bloco da Figura 1.4, de massa 4,0 kg, está sujeito à ação das forças horizontais F1 e F2, de módulos iguais a 30 N e 20 N, respectivamente. Calcule o
módulo da aceleração do bloco.
Figura 1.4: Duas forças horizontais aplicadas a um corpo
Fonte:
CTISM, adaptado do autor
Como F1 > F2, o bloco é acelerado para a direita por uma força resultante F
de intensidade:
A aceleração do bloco pode ser calculada através da segunda lei de Newton:
Assista a um vídeo sobre
leis de Newton em:
https://www.youtube.com/
watch?v=BptZoZAZiLo
e-Tec Brasil 22 Física Aplicada para Edificações
Exemplo 1.2
Os dois blocos indicados na Figura 1.5(a) deste exemplo estão em contato,
apoiados em um plano horizontal sem atrito
. Uma força horizontal de intensidade 100 N é aplicada ao bloco A. As massas dos blocos A e B valem,
respectivamente, 6 kg e 4 kg.
Figura 1.5: Dois corpos em contato sendo empurrados por uma força externa F
Fonte: CTISM, adaptado do autor
a) Calcule o módulo da aceleração adquirida pelo sistema.
Aplicando ao conjunto A + B (de massa total 10 kg) a segunda lei de Newton,
temos:
b) Calcule a intensidade da força de contato entre os blocos.
Na região de interesse, os blocos trocam as forças de contato FAB e FBA, conforme mostram os diagramas de corpo isolado para os dois blocos na Figura
1.5(b). Essas forças constituem um par de ação e reação. A intensidade de
FAB (ou de FBA) pode ser calculada aplicando-se a segunda lei de Newton ao
bloco B. Para isso, precisamos de um diagrama de corpo isolado. No diagrama
de corpo isolado, devemos representar todas as forças que agem sobre o
bloco B, conforme mostra a Figura 1.5(c). A força de reação normal do piso
sobre o bloco, FNB, e o peso do bloco, PB, equilibram-se, uma vez que não há
aceleração vertical.
Logo, a única força que acelera o bloco B é FAB.
Aula 1 - Leis de Newton
Exemplo 1.3
A Figura 1.6(a) representa dois blocos, A e B, de massas respectivamente
M e 4 M. Os blocos são ligados por um fio ideal e apoiados em uma mesa
horizontal sem atrito. Aplica-se ao bloco A uma força horizontal F para a
direita, de intensidade igual a 60 N.
Figura 1.6: Dois corpos ligados por um fio ideal e puxados para a direita por uma
força externa F
Fonte: CTISM, adaptado do autor
a) Considerando o valor de M igual a 1 kg, calcule a aceleração do sistema.
Aplicando a segunda lei de Newton ao sistema, temos:
b) Calcule a intensidade da força de tração no fio.
As forças verticais (peso e força de reação normal) equilibram-se em cada
bloco. Assim, para os blocos e o fio, temos os diagramas de forças mostrados
no Figura 1.6(b). A força que traciona o fio tem a mesma intensidade da força
que acelera o bloco B. Assim, aplicando a segunda lei de Newton ao bloco B:
Exemplo 1.4
O conjunto mostrado na Figura 1.7 possui fio e polia ideais.
Quando o sistema
é abandonado à ação da gravidade, o bloco B se move para baixo e o bloco
A se move para a direita. Considere g = 10 m/s2
, mA = 10 kg e mB = 30 kg.
e-Tec Brasil 24 Física Aplicada para Edificações
Figura 1.7: Dois corpos ligados por um fio ideal através de uma polia também ideal
Fonte: CTISM, adaptado do autor
a) Calcule o módulo da aceleração do sistema.
Precisamos considerar, inicialmente, o diagrama de corpo isolado de cada bloco,
conforme mostrado na Figura 1.7(b). Apliquemos o princípio fundamental da
dinâmica na direção do movimento de cada um deles.
Bloco B
Bloco A
Somando as equações acima, podemos calcular a aceleração do sistema:
b) Calcule a intensidade da força de tração no fio.
Substituindo o valor da aceleração:
Aula 1 - Leis de Newton 25 e-Tec Brasil
Exemplo 1.5
Um homem de massa 80 kg encontra-se sobre uma balança graduada em
N. Ele e a balança estão dentro de um elevador que se move com aceleração
vertical de 1 m/s2
. Adote g = 10 m/s2
.
a) Calcule a indicação na balança no caso da aceleração do elevador ser
para cima.
Figura 1.8:
Um homem sobre uma balança dentro de um elevador acelerado
Fonte: CTISM, adaptado de Doca; Biscuola; Bôas, 2010
A Figura 1.8 mostra que apenas duas forças agem sobre o homem: seu peso
P e a força de reação normal da balança FN. A força de reação normal tem
intensidade igual à leitura da balança. Isso ocorre porque o homem e a balança
trocam forças de ação e reação na região de contato. A intensidade de FN é
o peso aparente do homem dentro do elevador. Se o elevador está acelerado
para cima, FN > P. Aplicando a segunda lei:
Assim, no caso do elevador subir acelerado, o peso aparente do homem (880 N)
é maior que o peso real (800 N).
b) Calcule a indicação na balança no caso da aceleração do elevador ser
para baixo.
26 Física Aplicada para Edificações
Com o elevador acelerado para baixo, FN < P. Aplicando a segunda lei:
Portanto, quando o elevador desce acelerado, o peso aparente (720 N) é
menor que o peso real do homem (800 N).
Resumo
Nessa aula, aprendemos o conceito de força, bem como as três leis de Newton
da dinâmica. A partir das leis de Newton, podemos conhecer o estado de
movimento de um corpo, bem como calcular sua aceleração.
A primeira lei envolve o conceito de inércia, afirmando que é necessária uma
força para mudar o estado de movimento de um corpo.
A segunda lei relaciona a força que é aplicada a um corpo à sua aceleração,
sendo a massa a constante de proporcionalidade. Sua expressão matemática
é dada pela Equação 1.1.
Finalmente, a terceira lei de Newton diz respeito à ação e reação, afirmando
que a toda força de ação corresponde uma força de reação, sendo as forças
de mesmo módulo, mesma intensidade e de sentidos opostos. As forças de
ação e reação são sempre aplicadas a corpos diferentes.
Uma boa compreensão das leis de Newton é essencial para a sequência do
curso.
Atividades de aprendizagem
1. Um astronauta de massa 60,0 kg pesa 600 N na Terra, considerando
g = 10 m/s2
. Sabendo que, na Lua, a aceleração da gravidade vale um
sexto de seu valor na Terra, calcule:
a) A massa do astronauta na Lua.
b) O peso do astronauta na Lua.
Aula 1 - Leis de Newton 27 e-Tec Brasil
2. Um bloco com 2,0 kg de massa é acelerado para cima com aceleração
igual a 4,0 m/s2
. Considere g = 10 m/s2
.
a) Calcule a intensidade do peso do bloco.
b) Calcule a intensidade da força ascendente que acelera o bloco.
3. No esquema mostrado na Figura 1.9, os blocos têm massas mA = 2,0 kg
e mB = 3,0 kg. O fio é inextensível e tem peso desprezível. Considere
g = 10 m/s2
e F = 80 N.
Figura 1.9: Dois corpos sustentados por uma força F e ligados por um fio inextensível
a) Calcule o módulo da aceleração do sistema.
b) Calcule a intensidade da força de tração do fio.
4. Uma força horizontal age sobre um corpo que se encontra sobre uma
superfície sem atrito. Sabendo que a massa do corpo é de 3 kg, calcule
quanto deve ser a intensidade da força para que ela produza uma aceleração de 0,5 m/s2
no corpo.
5. Os blocos A e B têm massas 12,0 kg e 4,0 kg, respectivamente. Ambos
repousam sobre uma superfície perfeitamente lisa encostados um no outro. A partir de um certo instante, uma força F de intensidade 32 N é
aplicada no bloco A.
28 Física Aplicada para Edificações
Figura 1.10: Dois corpos em contato sobre uma superfície horizontal sendo empurrados por uma força F
a) Calcule o módulo da aceleração adquirida pelo sistema.
b) Calcule a intensidade da força de contato entre A e B.
6. Considere os blocos de massas mA = 4,0 kg e mB = 2,0 kg. Sabendo que
as forças F1 e F2 são horizontais e de intensidades iguais a 40 N e 10 N,
respectivamente, calcule a intensidade da força que o bloco B aplica no
bloco A. Desconsidere o atrito entre os blocos e o chão.
Figura 1.11: Dois corpos em contato e sujeitos à ação de duas forças F1 e F2
7. Um homem de massa 80,0 kg encontra-se sobre uma balança graduada
em N. Ele e a balança estão dentro de um elevador que se move com
aceleração vertical de 4 m/s2
. Adote g = 10 m/s2
.
a) Calcule a indicação na balança no caso da aceleração do elevador ser
para cima.
b) Calcule a indicação na balança no caso da aceleração do elevador ser
para baixo.
8. Explique por que, quando estamos dentro de um carro que faz uma curva
para a direita, somos “jogados” para a esquerda. Explique, também, por
que seríamos “lançados” para a frente no caso de uma colisão frontal.
9. Imagine uma situação em que um lutador de boxe, usando luvas adequadas, acerte um soco no rosto do seu oponente. Qual força tem maior intensidade, a força da luva contra o rosto ou a força do rosto contra a luva?
Aula 1 - Leis de Newton 29 e
.Sob a ação exclusiva de duas forças, F1 e F2, de mesma direção e sentido, um corpo de 6,0 kg de massa adquire aceleração de módulo igual a
4,0 m/s2
. Se o módulo de F1 vale 20 N, calcule o módulo de F2.
11.(UFPE) Um elevador partindo do repouso tem a seguinte sequência de
movimentos:
De 0 a t1, desce com movimento uniformemente acelerado.
De t1 a t2, desce com movimento uniforme.
De t2 a t3, desce com movimento uniformemente retardado até parar.
Um homem, dentro do elevador, está sobre uma balança calibrada em N. O
peso do homem tem intensidade P e a indicação da balança, nos três intervalos
citados, assume os valores F1, F2 e F3, respectivamente. Assinale a opção correta:
a) F1 = F2 = F1 = P
b) F1 < P; F2 = P; F3 < P
c) F1 < P; F2 = P; F3 > P
d) F1 > P; F2 = P; F3 < P
e) F1 > P; F2 = P; F3 > P
12.
Um ônibus se movimenta por uma estrada retilínea horizontal com aceleração constante e não nula. Há uma pedra suspensa por um fio ideal
preso ao teto no interior do veículo. Uma passageira olha para o fio e
verifica que ele não se encontra na vertical. Com relação a este fato, podemos afirmar que:
a) A única força que age sobre a pedra é seu próprio peso.
b) A inclinação do fio seria menor caso a massa da pedra fosse maior.
c) Podemos determinar a velocidade do ônibus por meio da inclinação do fio.
d) Caso a velocidade do ônibus fosse constante, o fio permaneceria na
vertical.
30 Física Aplicada para Edificações
e) A força transmitida pelo fio ao teto é menor que o peso do corpo.
13.O corpo mostrado na Figura 1.12 tem massa igual a 20 kg e é sustentado
no ar pela força vertical F.
a) Calcule qual deve ser a intensidade da força F para que o corpo fique em
equilíbrio.
b) Se a força F tem módulo igual a 240 N, calcule o módulo e a direção da
aceleração imposta ao corpo.
c) Considere, agora, que a intensidade da força F seja de 120 N
. Calcule,
para esse caso, o módulo e a direção da aceleração do corpo.
Figura 1.12: Corpo sustentado verticalmente pela força F
Fonte: CTISM, adaptado do autor
Aula 1 - Leis de Newton 31 e-Tec Brasil
e-Tec Brasil
Objetivos
Compreender o papel e a importância das forças de atrito.
Entender a decomposição da força peso em uma superfície inclinada.
Compreender a física e as equações que regem a queda de corpos
próximos à superfície da Terra.
Aplicar os conhecimentos obtidos na resolução de problemas físicos
cotidianos.
2.1 Força de reação normal e força de atrito
Uma força interativa R sempre aparece entre dois corpos em contato com
tendência de deslizamento. Essa força pode, então, ser decomposta em duas
componentes perpendiculares entre si. Uma componente paralela à direção
de movimento (ou de tendência de movimento) e outra componente perpendicular a essa direção.
A componente que age na direção perpendicular às superfícies é conhecida
como força de reação normal FN ou, simplificadamente, força normal. Já a componente paralela ao movimento é chamada de força de atrito Fat. A Figura 2.1(a)
mostra as componentes da força R que agem em um corpo apoiado em uma
superfície inclinada.
Aula 2 – Atrito, plano inclinado e queda livre
Assista a um vídeo
sobre forças de atrito em:
https://www.youtube.com/
watch?v=WtFvfoVzyVk
Aula 2 - Atrito, plano inclinado e queda livre 33 e-Tec Brasil
Figura 2.1: Força R agindo em um corpo apoiado em uma superfície inclinada (a),
caixa em repouso, na iminência de entrar em movimento (b) e caixa em movimento
com velocidade constante (c)
Fonte: CTISM, adaptado de Doca; Biscuola; Bôas, 2010
A força de atrito aparece somente quando as superfícies dos objetos em
contato tendem a deslizar uma em relação à outra, ou quando elas, de fato,
deslizam. O sentido dessa força é sempre contrário ao sentido do movimento
ou da tendência de movimento.
Como exemplo, podemos considerar uma caixa apoiada em uma superfície
horizontal. A caixa somente entrará em movimento se uma força resultante
não nula atuar sobre ela. Esse caso é mostrado na Figura 2.1(b). Quanto maior
for a massa da caixa, maior também será sua inércia.
Quando a força F atua sobre a caixa, mas ainda não acontece o deslizamento,
a força de atrito que aparece é conhecida como força de atrito estático e seu
módulo é tal que:
Onde: μe é o coeficiente de atrito estático
e-Tec Brasil 34 Física Aplicada para Edificações
A Equação 2.1 nos diz que, enquanto não há deslizamento entre as superfícies
em contato, a intensidade da força de atrito estático é variável. Além disso,
seu valor é igual ao valor da componente da força F aplicada na direção
da tendência de movimento. Quando as superfícies estão na iminência de
deslizamento, a força de atrito estático atinge seu valor máximo, dado por:
Quando a caixa se movimenta com velocidade constante, a força que é
necessária para mantê-la com esse tipo de movimento é menor que a força
necessária para tirá-la da situação de repouso. A Figura 2.1(c) mostra essa
situação, na qual o módulo da força F aplicada é menor que o módulo da
força aplicada na Figura 2.1(b), quando a caixa ainda estava em repouso. A
força F ainda é equilibrada pela força de atrito, que, nesse caso, chama-se
atrito dinâmico ou atrito cinético.
Para duas superfícies em contato, a força de atrito dinâmico é menor que a
força de atrito estático. Sua intensidade é constante, sendo dada por:
Onde: μd é o coeficiente de atrito dinâmico
Se a força F que atua sobre a caixa cessar, ela ainda se movimentará um
pouco mais, enquanto sua velocidade diminuirá gradualmente até parar.
Quanto mais liso for o chão, maior será a distância que a caixa deslizará até
o repouso, sendo menor a força de atrito.
A força de atrito entre duas superfícies quaisquer depende das suas texturas,
sendo menor quanto mais lisas forem as superfícies. As características das
superfícies envolvidas são representadas pelos coeficientes de atrito estático
e cinético mostrados nas equações anteriores.
A Figura 2.2 mostra, através de um gráfico, a relação entre a intensidade
da força de atrito e da força externa F aplicada. O deslizamento acontece
apenas quando o módulo da força ultrapassa o valor da força de atrito estático
máxima. Através do gráfico, também é possível notar que o módulo da força
de atrito estático máxima é maior que o módulo da força de atrito cinético.
Aula 2 - Atrito, plano inclinado e queda livre 35 e-Tec Brasil
Figura 2.2: Intensidade da força de atrito, Fat, como função da força F aplicada sobre
o corpo
Fonte: CTISM, adaptado do autor
O mundo sem atrito seria completamente diferente do que conhecemos. É
graças ao atrito entre nossos pés e o chão que podemos caminhar, por exemplo. Também sem atrito, um carro não poderia se manter na pista durante a
realização de uma curva, ou não poderia parar quando fossem acionados os
freios. Sem atrito, o carro sequer entraria em movimento.
No entanto, em alguns casos, como em máquinas e equipamentos mecânicos,
o atrito pode ser prejudicial, gerando aquecimento e aumentando o consumo
de energia. Nesses casos, é conveniente o uso de óleos ou graxas lubrificantes.
Em outras ocasiões, o uso de rodas, roletes cilíndricos ou esferas também é
recomendado para diminuir o atrito entre diferentes superfícies.
2.1.1 Exemplo resolvido
Exemplo 2.1
Dois corpos, A e B, pesam, respectivamente, 40 N e 60 N. Eles são ligados por
um fio de massa desprezível e inextensível, conforme mostra a Figura 2.3. O
coeficiente de atrito dinâmico entre o piso horizontal e o corpo A vale 0,20.
A polia C pode girar livremente sem atrito. Considere g = 10 m/s2
.
e-Tec Brasil 36 Física Aplicada para Edificações
Figura 2.3: Dois blocos ligados por um fio ideal
Fonte: CTISM
a) Calcule a aceleração do sistema.
Para resolver esse exercício, devemos aplicar o princípio fundamental da
dinâmica a cada corpo. Sobre o corpo A, agem o seu peso, que é equilibrado
pela força de reação normal, a força de tração do fio para a direita e a força
de atrito cinético para a esquerda. Sobre o corpo B, agem seu peso e a força
de tração do fio.
Corpo A
Corpo B
Somando as equações (I) e (II), obtemos:
Mas a força de reação normal exercida pelo piso sobre o corpo A é exatamente
igual ao seu peso. Assim, FNA = PA = 40 N. Dessa forma:
Aula 2 - Atrito, plano inclinado e queda livre 37 e-Tec Brasil
b) Calcule a força de tração no fio.
Podemos usar a equação (II) para calcular a tração no fio.
2.2 Plano inclinado
Existem vários exemplos de planos inclinados ao nosso redor. As estradas em
aclive ou declive e as rampas de acesso a garagens e prédios são alguns deles.
De uma forma direta, um plano inclinado nada mais é que uma superfície
plana cujos pontos de início e fim estão em alturas diferentes.
Para equilibrar um corpo de peso P sem apoiá-lo, é necessário aplicar uma
força F para cima de mesma intensidade de P. No entanto, se o corpo for
apoiado em um plano inclinado, a força que deve ser aplicada para equilibrá-lo
tem intensidade F menor que P. Isso ocorre porque o peso P sobre o plano
inclinado, é decomposto nas componentes normal Pn e tangencial Pt.
As expressões para Pn e Pt podem ser obtidas através do triângulo laranja da
Figura 2.4, com o auxílio das definições de seno e cosseno de um ângulo:
Onde: α é o ângulo de inclinação do plano
Assista a um vídeo sobre
planos inclinados em:
https://www.youtube.
com/watch?v=c6e3YM_
S29g&feature=related
e-Tec Brasil 38 Física Aplicada para Edificações
Figura 2.4: Com o auxílio de um plano inclinado, a força F necessária para sustentar
o peso tem módulo menor que P
Fonte: CTISM, adaptado de Torres, 2010
Estando o bloco da Figura 2.4 em equilíbrio, a componente de seu peso
perpendicular ao plano, Pn, é equilibrada pela reação normal FN, enquanto a
componente do peso paralela ao plano, Pt, é equilibrada pela força F. Dessa
forma, as Equações 2.4 podem ser escritas, em módulo, como:
Como 0º ≤ α ≤ 90º, sen α ≤ 1 e F ≤ P. Isso demonstra que, para equilibrar um
corpo por meio de um plano inclinado, é necessária uma força de intensidade
menor que o peso do corpo.
2.2.1 Exemplo resolvido
Exemplo 2.2
A Figura 2.5 mostra dois corpos de massa 20 kg cada um. O coeficiente de
atrito cinético entre o plano inclinado e o corpo B vale 0,25. Desconsidere o
peso do fio e admita que a polia possa girar livremente sem atrito. Considere
g = 10 m/s2
, sen 30º = 0,5 e cos 30º = 0,87.
Aula 2 - Atrito, plano inclinado e queda livre 39 e-Tec Brasil
Figura 2.5: Dois corpos equilibrados através de um plano inclinado
Fonte: CTISM, adaptado de Paraná, 2003
a) Calcule a aceleração do sistema.
Aplicando o princípio fundamental da dinâmica a cada corpo:
Corpo A
Corpo B
Somando as equações (I) e (II):
O peso do corpo A é igual ao peso do corpo B (PA = PB = 20 × 10 = 200 N).
A componente do peso do bloco B paralela ao plano é dada por
PtB = PB × sen(30º) = 200 × 0,5 = 100 N. O valor da reação normal do plano
sobre o bloco B vale FNB = PnB = PB × cos(30º) = 200 × 0,87 = 174 N. Assim,
a intensidade da força de atrito que age sobre o bloco B é FatB = μd × FNB =
0,25 × 174 = 43,5 N.
Substituindo esses valores na expressão para a aceleração, obtemos:
e-Tec Brasil 40 Física Aplicada para Edificações
b) Calcule o valor da força de tração no fio.
Podemos calcular a força de tração através da equação (I):
2.3 Queda livre
O estudo dos movimentos de queda de corpos próximos à superfície da
Terra sempre chamou a atenção. Ao abandonarmos um corpo (um tijolo, por
exemplo), observamos que sua velocidade de queda aumenta com o passar
do tempo, ou seja, seu movimento é acelerado. Em contrapartida, se o objeto
for lançado para cima, sua velocidade decresce gradualmente até se anular
no ponto mais alto da trajetória, sendo o movimento de subida retardado.
Durante quase dois mil anos acreditou-se que, ao serem abandonados dois
corpos nas proximidades da Terra, aquele que possuísse a maior massa atingiria o solo mais rapidamente. Foi somente no século XVII que Galileu Galilei
conseguiu uma explicação correta para o fenômeno. Essa explicação foi fruto
de experimentos realizados por ele, e pode ser enunciada como:
Corpos de diferentes massas caem juntos e atingem o chão simultaneamente,
desde que sejam abandonados de uma mesma altura.
Supostamente, Galileu teria lançado várias esferas de pesos diferentes do alto
da Torre de Pisa, na Itália, para comprovar sua teoria. Ainda assim, muitos
pensadores da época se recusaram a acreditar em suas ideias.
Em nossas experiências diárias, percebemos que, ao abandonarmos uma
pena e uma pedra, por exemplo, a pedra cai mais rápido, em contraste com
os resultados de Galileu. No entanto, essa diferença de velocidades de queda
acontece porque o ar exerce uma força retardadora em qualquer objeto que
se movimente através dele, sendo esse efeito mais evidente sobre a pena,
que possui menor peso. Entretanto, se a pedra e a pena forem abandonadas
em uma região de vácuo, elas cairão simultaneamente, conforme previsto
por Galileu.
A queda livre acontece quando a resistência sobre o movimento de queda
dos corpos não existe ou pode ser desprezada, no vácuo ou no ar. Somente
estudaremos tais situações.
Assista a um vídeo
sobre queda livre em:
https://www.youtube.com/
watch?v=FTT1CPGu4bA
Aula 2 - Atrito, plano inclinado e queda livre 41 e-Tec Brasil
2.3.1 A aceleração da gravidade
Como dito anteriormente, o movimento de queda livre é acelerado. Experimentalmente, Galileu constatou que essa aceleração é constante, sendo a
queda livre um movimento uniformemente acelerado. Esta aceleração, denominada aceleração da gravidade, é representada pela letra g e tem o mesmo
valor para todos os corpos, com valor aproximado de 9,8 m/s2
. Isso significa
dizer que, quando um corpo está em queda livre, sua velocidade aumenta de
9,8 m/s a cada 1 segundo. Caso o corpo seja lançado verticalmente para cima,
sua velocidade decresce 9,8 m/s a cada 1 s.
2.3.2 As equações da queda livre
Sendo a queda livre um movimento uniformemente acelerado, as equações
aplicadas são as mesmas equações aplicadas ao estudo de movimentos retilíneos
uniformemente acelerados, lembrando que a aceleração a, nas equações
originais, deve ser substituída por g. Quando um corpo é lançado para baixo
com velocidade inicial v0, após cair um certo tempo t e percorrer uma distância
d, são válidas as equações:
As equações acima podem também ser empregadas para o movimento de
subida. Porém, nesse caso, o movimento será uniformemente retardado. No
movimento de subida a aceleração g será negativa, pois o movimento será
desacelerado. Em geral, a primeira e a segunda equação acima são chamadas
de funções horárias do movimento.
2.3.3 Exemplo resolvido
Exemplo 2.3
Um grupo de alunos montou um foguete movido a água sob pressão. No
lançamento, os estudantes obtiveram uma veloocidade inicial v0 = 60 m/s,
vertical e para cima. Despreze a resistência do ar e considere g = 10 m/s2
.
e-Tec Brasil 42 Física Aplicada para Edificações
a) Calcule a velocidade que o foguete terá 2 s após o lançamento.
Podemos calcular a velocidade de movimento retardado com a equação
v = v0 – g × t. Portanto:
b) Calcule quanto tempo o foguete gasta para atingir o ponto mais alto da
sua trajetória.
No ponto mais alto de sua trajetória, sua velocidade é nula (v = 0). Assim, a
equação v = v0 – g × t se reduz a:
c) Calcule a altura máxima atingida pelo foguete durante seu movimento.
Já foi calculado, no item anterior, que o tempo que o foguete gasta para atingir
o topo da trajetória é de 6 s. Assim, podemos calcular a distância percorrida
por ele com o auxílio da equação d = v0 × t – (1/2) × g × t2
.
d) Calcule a velocidade com que o foguete retorna ao ponto de lançamento.
Quando o foguete realiza o movimento de descida, ele parte do repouso
do ponto mais alto da trajetória e percorre a mesma distância percorrida
na subida. Dessa forma, podemos usar a equação v2
= v0
2
+ 2 × g × d, com
v0 = 0 m/s e d = 180 m. Assim:
O foguete retorna ao ponto inicial com a mesma velocidade de lançamento!
e) Calcule o tempo que o foguete gasta para descer.
Aula 2 - Atrito, plano inclinado e queda livre 43 e-Tec Brasil
Este tempo pode ser calculado com o auxílio da equação v = v0 + g × t,
fazendo v0 = 0 m/s (o foguete parte do repouso do topo da trajetória) e
v = 60 m/s, conforme obtido na questão anterior. Assim, a equação se reduz a:
O tempo de subida é exatamente igual ao tempo de descida!
Se a resistência do ar não pudesse ser desconsiderada, o tempo de descida seria
maior que o tempo de subida e o foguete retornaria ao ponto de lançamento
com uma velocidade menor que a velocidade com a qual foi lançado.
Resumo
Nesta aula, vimos que, entre superfícies em contato, existe sempre uma força
interativa. Essa força pode ser decomposta na direção do movimento, ou da
tendência de movimento, sendo chamada de força de atrito. A força de atrito
pode ser estática, quando há apenas a tendência de deslizamento entre as
superfícies, ou dinâmica, quando as superfícies de fato se movimentam entre si.
Além disso, a intensidade da força de atrito estático máximo é sempre menor
que a intensidade da força de atrito dinâmico para as mesmas superfícies.
Finalmente, na direção perpendicular ao movimento, a componente da força
interativa é a força de reação normal.
Em muitas situações, o atrito é indesejado, e busca-se formas de diminuí-lo.
Porém, sem o atrito, o mundo que conhecemos seria completamente diferente.
Atividades simples como caminhar ou escrever com uma caneta esferográfica,
por exemplo, seriam impossíveis.
Também aprendemos como a força peso se decompõe e como calcular suas
componentes paralela e perpendicular à direção de movimento em um plano
inclinado. Vimos que é mais fácil sustentar um corpo com o auxílio de um
plano inclinado que sustentá-lo livremente.
Finalmente, estudamos e entendemos por que os corpos caem próximos à
superfície de nosso planeta. Aprendemos as equações que governam esses
